【求对数函数的导数】在微积分中，对数函数的导数是一个重要的知识点，尤其在处理指数增长、衰减以及涉及自然对数（ln）和常用对数（log）的问题时。掌握对数函数的导数有助于更深入地理解函数的变化率，并为后续的积分与应用问题打下基础。
以下是对数函数导数的总结及常见类型的表格展示。
一、对数函数的基本导数公式
1. 自然对数函数：
$ f(x) = \ln x $
导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
2. 常用对数函数：
$ f(x) = \log_a x $（其中 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $）
导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
3. 对数函数的复合形式（链式法则）：
若 $ f(x) = \ln u(x) $，则
$$
f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}
$$
4. 对数函数的乘积与商的导数：
利用对数性质简化导数计算：
- $ \ln(uv) = \ln u + \ln v $
- $ \ln\left(\frac{u}{v}\right) = \ln u - \ln v $
二、常见对数函数导数表格
| 函数形式 | 导数表达式 | 备注 |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ | 自然对数 |
| $ \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ | 常用对数，a为底数 |
| $ \ln(u(x)) $ | $ \frac{u'(x)}{u(x)} $ | 链式法则应用 |
| $ \log_a(u(x)) $ | $ \frac{u'(x)}{u(x) \ln a} $ | 混合对数与链式法则 |
| $ \ln(x^2) $ | $ \frac{2}{x} $ | 可化简为 $ 2\ln x $，再求导 |
| $ \ln(5x + 3) $ | $ \frac{5}{5x + 3} $ | 应用链式法则 |
三、注意事项
- 对数函数的定义域通常为 $ x > 0 $，因此导数只在该区间内有效。
- 在使用链式法则时，注意先对外层函数求导，再乘以内层函数的导数。
- 对于复杂函数，可以先利用对数性质进行简化，再求导，这样可以避免复杂的运算。
通过以上内容，我们可以系统地掌握对数函数的导数计算方法，为解决实际问题提供有力的数学工具。