【增函数加增函数是】在数学中，函数的单调性是一个重要的性质。当我们谈论“增函数”时，通常指的是在某个区间内，随着自变量的增大，函数值也相应增大的函数。那么，当两个增函数相加时，结果是否仍然是增函数呢？下面我们将通过分析和举例来总结这一问题。
一、基本概念回顾
1. 增函数定义
若对于任意 $ x_1 < x_2 $，都有 $ f(x_1) \leq f(x_2) $，则称 $ f(x) $ 在该区间上为增函数；若严格大于，则称为严格增函数。
2. 函数相加的定义
设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是定义在区间 $ I $ 上的函数，则它们的和为 $ h(x) = f(x) + g(x) $。
二、结论总结
| 情况 | 结论 | 说明 |
| 增函数 + 增函数 | 一定是增函数 | 若 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是增函数，则它们的和 $ f(x) + g(x) $ 也是增函数 |
| 增函数 + 减函数 | 不一定 | 取决于两者的增长与减少速度 |
| 减函数 + 减函数 | 一定是减函数 | 类似于增函数相加的情况 |
| 常数函数 + 增函数 | 仍是增函数 | 常数函数不影响单调性 |
三、详细分析
设 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 都是增函数，即对于任意 $ x_1 < x_2 $，有：
- $ f(x_1) \leq f(x_2) $
- $ g(x_1) \leq g(x_2) $
那么它们的和 $ h(x) = f(x) + g(x) $，满足：
$$
h(x_1) = f(x_1) + g(x_1) \leq f(x_2) + g(x_2) = h(x_2)
$$
因此，$ h(x) $ 也是增函数。
需要注意的是，这个结论仅适用于同一定义域内的增函数。如果两个函数的定义域不同，或者其中一个不是在整个区间上都是增函数，那么它们的和可能不保持单调性。
四、实例验证
| 函数 | 是否增函数 | 说明 |
| $ f(x) = x $ | 是 | 一次函数，严格增 |
| $ g(x) = x^2 $ | 否（在 $ (-\infty, 0) $ 上是减函数） | 在 $ (0, +\infty) $ 上是增函数 |
| $ h(x) = f(x) + g(x) = x + x^2 $ | 是 | 在 $ (0, +\infty) $ 上是增函数 |
| $ k(x) = f(x) + (-f(x)) = 0 $ | 常数函数 | 不是增函数也不是减函数 |
五、结语
综上所述，“增函数加增函数”在相同定义域下，其和仍然是增函数。这一性质在实际应用中具有重要意义，例如在经济学中的成本函数、收益函数等组合分析中，常会用到这一结论。理解函数的单调性有助于我们更深入地掌握函数的行为特征。